El realtek apostaría que es la tarjeta de sonido y, evidentemente, el r8169 es el de la tarjeta de red, que como dices te funciona en Debian 10 y en Ubuntu (¿la última LTS 20.04 con el kernel 5.4?)... con lo que el problema sí venga del driver con el kernel 5.10 en Debian 11.
Se ejecutas el comando con esta variación en Debian 11, ¿qué te sale?
lsmod | grep r816
Si te sigue saliendo r8169 aún con el paquete r8168-dkms instalado es que no está cargando este último, con lo que tendrías, aunque sea por probar, hacer lo del blacklist para el r8169, para forzar a que no cargue el r8169 y busque el r8168.
Que tampoco puedo asegurar que con el r8168 funcione.
La diferencia, básicamente, entre las isos oficiales y nonfree es que la primera sólo trae software libre, es decir, sólo tiene configurado el repo main; mientras que la segunda trae configurados los repos no libres, es decir, el non-free y, creo, que el contrib; además, que tampoco lo puedo confirmar, cargar el paquete firmware-linux-nonfree, que no deja de ser un metapaquete que instala, entre otros, el paquete firmware-misc-nonfree, que, como podrás ver, tampoco soluciona tu problema.
Si quieres estar a la última, sin salirte de "esa cosa" llamada Gnome, y sin salir de Debian, puedes probar la versión unstable, bookworm. No te voy a decir que pruebes la versión sid.
Piensa que la versiones estables de Debian son "congeladas", es decir, sólo se sacan parches de seguridad y, en pocos casos, actualizaciones de versiones, por eso es tan estable para servidores.
Aunque es cierto que el soporte para Debian 10 está extendido hasta junio de 2024.
Personalmente, para entornos de escritorio, y querer estar a la última, además de tener cierta seguridad de que no hay líos entre versiones y, sobre todo, no tener que andar pendiente de cuando se le acaba el soporte a la versión actual, recomendaría darle una prueba a Manjaro, semi rolling-release basada en Arch. Como todo en informática, puede que algo se "rompa" al actualizar, pero al menos los de Manjaro suelen probar las cosas antes de sacar una actualización, a diferencia de la "madre" Arch que sale casi sin probar.
También tienes a, por ejemplo, openSUSE Tumbleweed, la versión rolling-release de openSUSE (siendo la LEAP la versión estable)... pero fue la primera LEAP de openSUSE (¿42.1?) la causante de que me pasara a Manjaro (Plasma y Xfce en mi caso, según hardware)... después de estar en openSUSE desde, creo, la versión 10.
Un saludo.
P.D.: El citar a alguien con @ no funciona en este foro... una pena.